Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E。

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E。 （1）求证：AE=CE；（2）EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD=CF=2cm，求⊙O的直径；（3）若 =n（n>0），求sin∠CAB。

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Answer 1

解：（1）证明：连接DE， ∵∠ABC=90°， ∴∠ABE=90°， ∴AE是⊙O直径， ∴∠ADE=90°， ∴DE⊥AC， 又∵D是AC的中点， ∴DE是AC的垂直平分线， ∴AE=CE； （2）在△ADE和△EFA中， ∵∠ADE=∠AEF=90°，∠DAE=∠FAE， ∴△ADE∽△EFA， ∴ ， ∴ ， ∴AE=2 cm； （3）∵AE是⊙O直径，EF是⊙O的切线， ∴∠ADE=∠AEF=90°， ∴Rt△ADE∽Rt△EDF， ∴ ， ∵ ，AD=CD， ∴CF=nCD， ∴DF=（1+n）CD， ∴DE= CD， 在Rt△CDE中， ， ∴ ， ∵∠CAB=∠DEC， ∴sin∠CAB=sin∠DEC= 。