Question

已知函数f（x）=x 2 +（lga+2）x+lgb满足f（-1）=-2，且对于任意x∈R恒有f（x）≥2x成立．（1）求实数a，

已知函数f（x）=x 2 +（lga+2）x+lgb满足f（-1）=-2，且对于任意x∈R恒有f（x）≥2x成立．（1）求实数a，b的值；（2）设g（x）=f（x）-2x，若存在实数t，当x∈[1，m]时，g（x+t）≤x恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

（1）由f（-1）=-2知，lgb-lga+1=0①，∴a=10b②． 又对于任意x∈R，f（x）≥2x恒成立，即f（x）-2x≥0恒成立，则x 2 +x?lga+lgb≥0恒成立，故△=lg 2 a-4lgb≤0， 将①式代入上式得：lg 2 b-2lgb+1≤0，即（lgb-1） 2 ≤0，故lgb=1，即b=10，代入②得，a=100； 故a=100，b=10． （2）g（x）=f（x）-2x=x 2 +2x+1=（x+1） 2 ， ∵存在实数t，当x∈[1，m]时，g（x+t）≤x恒成立，即（x+t+1） 2 ≤x恒成立． ∴?t∈R， - x ≤x+t+1≤ x ，即 - x -x≤t+1≤ x -x ，x∈[1，m]恒成立． 设 x =u ≥1，则-u-u 2 ≤t+1≤u-u 2 ， ∴ (-u- u 2 ) max ≤t+1≤(u- u 2 ) min ， ∵当 m ≥u≥1时， - u 2 -u=-(u+ 1 2 ) 2 + 1 4 单调递减，故u=1时取得最大值-2； - u 2 +u=-(u- 1 2 ) 2 + 1 4 单调递减，故 u= m 时取得最小值 m -m ． ∴ -2≤t+1≤ m -m ． ∴ -2≤ m -m ，即 ( m ) 2 - m -2≤0 ，化为 ( m +1)( m -2)≤0 ， 又m≥1，解得 1＜ m ≤2 ，解得1＜m≤4， ∴实数m的最大值是4．