Question

已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，点D在边BC上，AD平分∠CAB，E为AC上 的一个动点（不

已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，点D在边BC上，AD平分∠CAB，E为AC上 的一个动点（不与A、C重合），EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：AD=DB；（2）设CE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式；（3）当∠DEF=90°时，求BF的长？

Answer 1

（1）证明：在△ABC中，∵∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°， 又∵AD平分∠CAB， ∴∠DAB=∠DAC= 1 2 ∠CAB=30°， ∴∠DAB=∠B， ∴AD=DB． （2）在△AEF中，∵∠AFE=90°，∠EAF=60°， ∴∠AEF=30°， ∴AE=AC-EC=6-x，AF= 1 2 AE= 1 2 (6-x) ， 在Rt△ABC中，∵∠B=30°，AC=6， ∴AB=12， ∴BF=AB-AF=12- 1 2 (6-x)=9+ 1 2 x， ∴y=9+ 1 2 x， 答：y关于x的函数解析式是y=9+ 1 2 x（0＜x＜6）． （3）当∠DEF=90°时，∠CED=180°-∠AEF-∠FED=60°， ∴∠EDC=30°，ED=2x， ∵∠C=90°，∠DAC=30°， ∴∠ADC=60°， ∴∠EDA=60°-30°=30°=∠DAE， ∴ED=AE=6-x． ∴有2x=6-x，得x=2， 此时，y=9+ 1 2 ×2=10， 答：BF的长为10．