Question

如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点D．连接OE、AC，已知∠POE=2∠ CAB，∠P=∠E．（

如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点D．连接OE、AC，已知∠POE=2∠ CAB，∠P=∠E．（1）求证：CE⊥AB；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）若BD=20D，PB=9，求⊙O的半径及tan∠P的值．

Answer 1

（1）证明：连接OC， ∴∠COB=2∠CAB， 又∠POE=2∠CAB． ∴∠COD=∠EOD， 又∵OC=OE， ∴∠ODC=∠ODE=90°， 即CE⊥AB； （2）证明：∵CE⊥AB，∠P=∠E， ∴∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°， 又∠OCD=∠E， ∴∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°， ∴PC是⊙O的切线； （3）设⊙O的半径为r，OD=x，则BD=2x，r=3x， ∵CD⊥OP，OC⊥PC， ∴Rt△OCD ∽ Rt△OPC， ∴OC 2 =OD?OP，即（3x） 2 =x?（3x+9）， 解之得x= 3 2 ， ∴⊙O的半径r= 9 2 ， 同理可得PC 2 =PD?PO=（PB+BD）?（PB+OB）=162， ∴PC=9 2 ， 在Rt△OCP中，tan∠P= OC PC = 2 4 ．

Answer 2

1）连接AE,BE，∠POE=2∠CAB=2∠EAB，所以BE=BC,即AC=AE，所以CE⊥AB
2）连接OC，因为CE⊥AB,OC=OE，即∠E=OCE，而∠P=∠E，所以∠P=OCE，而P+DCP=90,所以∠OCE+∠DCP=90，即PC是切线
3）设OD=x，那么BD=2x，OC=3x，所以CD=2根号2x
CD²=OD.PD=8x²=x（2x+9），x=3/2
r=3x=9/2,tan∠P=tan∠OCD=x/2根号2x=根号2/4