Question

若a＞0，b＞0，且 1 2a+b + 1 b+1 =1 ，则a+2b的最小值为______

若a＞0，b＞0，且 1 2a+b + 1 b+1 =1 ，则a+2b的最小值为______．

Answer 1

∵a＞0，b＞0，且 1 2a+b + 1 b+1 =1 ， ∴a+2b= (2a+b)+3(b+1) 2 - 3 2 = (2a+b)+3(b+1) 2 ?( 1 2a+b + 1 b+1 ) - 3 2 = 1 2 [1+3+ 3(b+1) 2a+b + 2a+b b+1 ] - 3 2 ≥ 1 2 (4+2 3(b+1) 2a+b ? 2a+b b+1 ) - 3 2 = 4+2 3 2 - 3 2 = 2 3 +1 2 ． 当且仅当 3(b+1) 2a+b = 2a+b b+1 ，a＞0，b＞0，且 1 2a+b + 1 b+1 =1 ，即 b= 3 3 ，a= 1 2 + 3 3 时取等号． ∴a+2b的最小值为 2 3 +1 2 ． 故答案为 2 3 +1 2 ．