Question

已知函数f(x)=ax 3 +bx 2 -3x在x=±1处取得极值。（1）求函数f(x)的解析式；（2）求证：对于区间[-1，1]

已知函数f(x)=ax 3 +bx 2 -3x在x=±1处取得极值。（1）求函数f(x)的解析式；（2）求证：对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x 1 ，x 2 ，都有|f(x 1 )-f(x 2 )|≤4；（3）若过点A（1，m）（m ≠-2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的范围。

Answer 1

解：（1） =3ax 2 +2bx-3， 依题意，f′(1)=f′(-1)=0， 即 解得a=1，b=0， ∴f（x）=x 3 -3x。 （2）∵f(x)=x 3 -3x， ∴f ′(x)=3x 2 -3=3(x+1)(x-1)， 当-1＜x＜1时，f ′(x)＜0，故f(x)在区间[-1，1]上为减函数， f max (x)=f(-1)=2，f min (x)=f(1)=-2， ∵对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x 1 ，x 2 ， 都有|f(x 1 )-f(x 2 )|≤|f max (x) -f min (x)|， ∴ |f(x 1 )-f(x 2 )|≤|f max (x)-f min (x)|=2-(-2)=4。 （3）f′(x)=3x 2 -3=3(x+1)(x-1)， ∵曲线方程为y=x 3 -3x， ∴点A（1，m）不在曲线上， 设切点为M（x 0 ，y 0 ），则点M的坐标满足 ， 因 ，故切线的斜率为 ， 整理得 ， ∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线， 设 ，则 ， 由 ，得x 0 =0或x 0 =1， ∴g(x 0 )在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减， ∴函数 的极值点为x 0 =0，x 0 =1， ∴关于x 0 方程 有三个实根的充要条件是 ，解得-3＜m＜-2， 故所求的实数a的取值范围是-3＜m＜-2。