Question

动圆M过定点A(－ ，0)，且与定圆A´：( x － ) 2 ＋ y 2 ＝12相切． (1)求动圆圆心M的轨迹C的方

动圆M过定点A(－ ，0)，且与定圆A´：( x － ) 2 ＋ y 2 ＝12相切． (1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；(2)过点P(0，2)的直线 l 与轨迹C交于不同的两点E、F，求 的取值范围．

Answer 1

(1)  (2)

试题分析：(1)A´( ，0)，依题意有|MA´|＋ ＝2 |MA´|＋|MA| ＝2  ＞2               3分 ∴点M的轨迹是以A´、A为焦点，2 为长轴上的椭圆，∵ a ＝ ， c ＝   ∴ b 2 ＝1．因此点M的轨迹方程为           5分 (2) 解：设 l 的方程为 x ＝ k ( y －2)代入 ，消去 x 得：( k 2 ＋3) y 2 －4 k 2 y ＋4 k 2 －3＝0 由△＞0得16 k 4 －(4 k 2 －3)( k 2 ＋3)＞0 0≤ k 2 ＜1        7分 设E( x 1 ， y 1 )，F( x 2 ， y 2 )， 则 y 1 ＋ y 2 ＝ ， y 1 y 2 ＝ 又 ＝( x 1 ， y 1 －2)， ＝( x 2 ， y 2 －2) ∴ · ＝ x 1 x 2 ＋( y 1 －2)( y 2 －2) ＝ k ( y 1 －2)· k ( y 2 －2) ＋( y 1 －2)( y 2 －2) ＝(1＋ k 2 ) ＝                      10分 ∵0≤ k 2 ＜1 ∴3≤ k 2 ＋3＜4 ∴ · ∈           12分 点评：求轨迹方程大体步骤：1建立坐标系，设出所求点，2，找到动点满足的关系，3关系式坐标化整理化简，4去除不满足要求的点