Question

已知函数f(x)＝lg1?x1+x，其中x∈（-1，1）．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）设x，y为函数f（x）定义域

已知函数f(x)＝lg1?x1+x，其中x∈（-1，1）．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）设x，y为函数f（x）定义域内的任意二个值，求证：f(x)+f(y)＝f(x+y1+xy)．

Answer 1

（1）由于函数的定义域为（-1，1），关于原点对称，
且f（-x）=lg

1+x

1?x

=-lg

1?x

1+x

=-f（x），
故函数f（x）为奇函数．
（2）证明：∵x，y为函数f（x）定义域内的任意二个值，f(x)＝lg

1?x

1+x

，
∴f（x）+f（y）=lg

1?x

1+x

+lg

1?y

1+y

=lg

(1?x)(1?y)

(1+x)(1?y)

=lg

1+xy?x?y

1+xy+x+y

，
f（

x+y

1+xy

）=lg

1? x+y 1+xy

1+ x+y 1+xy

=lg

1+xy?x?y

1+xy+x+y

，
故有 f(x)+f(y)＝f(

x+y

1+xy

)．