Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为4+π2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若 sinα+f（α）=23，求2sin(2α?π4)+11+tanα的值．

Answer 1

（1）∵f（x）为偶函数，∴sin（-ωx+φ）=sin（ωx+φ），
2sinωxcosφ=0恒成立
∴cosφ=0
又0≤φ≤

π

2

，
∴φ=

π

2

．其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为

4+π2

，
设其最小正周期为T，则

T

2

＝

4+π2?22

=π，
∴T=2π，∴ω=1，
∴f（x）=cosx
（2）∵原式=

sin2α?cos2α+1

1+tanα

＝

2sinαcosα+2sin2α

1+ sinα cosα

=2sinαcosα，又sinα+cosα=

2

3

，
∴1+2sinαcosα=

4

9

，
∴2sinαcosα=-

5

9

，
∴原式=-

5

9