Question

如图已知ab是圆o的弦，半径oc，od与ab分别交于点e，f且ae等于cf求证弧ac等于弧bd

Answer 1

【纠正：AE=BF】

【证法1】

过点O作ON⊥AB，交AB于M，交⊙O于N

则AM=BM，弧AN=弧BN（垂径定理）

∵AE=BF

∴AM-AE=BM-BF

即EM=FM

又∵∠OME=∠OMF=90°，OM=OM

∴△OME≌△OMF（SAS）

∴∠EOM=∠FOM

即∠CON=∠DON

∴弧CN=弧DN（等角对等弧）

∴弧AN-弧CN=弧BN-弧DN

即弧AC=弧BD

【证法2】

作OM⊥AB于M，连接OA、OB。

则AM=BM（垂径定理）

∵AE=BF

∴AM-AE=BM-BF

即EM=EF

∴OM垂直平分EF

∴OE=OF（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）

又∵AE=BF，OA=OB

∴△AEO≌△BFO（SSS）

∴∠AOE=∠BOF

∴弧AC=弧BD（等角对等弧）

【证法3】

连接OA、OB。

∵OA=OB

∴∠OAE=∠OBF

又∵AE=BF

∴△OAE≌△OBF（SAS）

∴∠AOE=∠BOF

∴弧AC=弧BD（等角对等弧）