Question

已知圆C的半径为2，圆心C在x轴的正半轴上，直线3x-4y+4=0与圆C相切．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）是否存在

已知圆C的半径为2，圆心C在x轴的正半轴上，直线3x-4y+4=0与圆C相切．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）是否存在过点P（0，-3）的直线l与圆C交于不同两点A、B，且弦AB的垂直平分线m过点Q（3，-3），若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）设圆心为C（a，0）（a＞0），则圆C的方程为（x-a） 2 +y 2 =4 ∵圆C与3x-4y+4=0相切，∴ |3a+4| 3 2 + 4 2 =2，即|3a+4|=10 ， 解得a=2或 a=- 14 3 （舍去）， ∴圆C的方程为（x-2） 2 +y 2 =4． （II）假设符合条件的直线l存在，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx-3， ∵直线l与圆相交于不同两点，则圆心C到直线l的距离 d= |2k-3| k 2 +1 ＜r=2 ，解得 k＞ 5 12 ， 直线m的方程为 y+3=- 1 k (x-3) ，即x+ky+3k-3=0． 由于直线m垂直平分弦AB，故圆心C（2，0）必在直线m上，解得 k= 1 3 ． 而 1 3 ?( 5 12 ，+∞) ， 故不存在直线l，使得过点Q（3，-3）的直线m垂直平分弦AB．