Question

已知直线l经过P（3，2），且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点．（Ⅰ）当△OAB的面积为16时，求直线l

已知直线l经过P（3，2），且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点．（Ⅰ）当△OAB的面积为16时，求直线l的方程（Ⅱ）当△OAB面积取最小值时，求直线l的方程．

Answer 1

（I）设直线方程 x a + y b =1 ，（a＞b＞0） ∵△OAB的面积为16时，∴ 1 2 ab=16，可得ab=32． ∵P（3，2）在直线l上，可得 3 a + 2 b =1 ∴两式联解得a=4、b=8或a=12、b= 8 3 由此可得直线方程为 x 4 + y 8 =1 或 x 12 + y 8 3 =1 化简得2x+y-8=0或2x+9y-24=0； （II）设直线方程为 y-2=k（x-3），k＜0，可得A （3- 2 k ，0 ）、B （0，2-3k）， S △OAB = 1 2 （3- 2 k ）（ 2-3k）= 1 2 [12+（-9k）+ 4 -k ]≥12， 当且仅当 （-9k）= 4 -k 时，即 k=- 2 3 时，等号成立， 此时，直线方程为 y-2=- 2 3 （x-3），即2x+3y-12=0．