Question

（2014?枣阳市模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线DC与

（2014?枣阳市模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线相交于P．弦CE平分∠ACB，交直径AB于点F，连结BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）探究线段PC，PF之间的大小关系，并加以证明；（3）若tan∠PCB=34，BE=52，求PF的长．

Answer 1

解：（1）连接OC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵PC是⊙O的切线，AD⊥CD，
∴∠OCP=∠D=90°，
∴OC∥AD．
∴∠CAD=∠OCA=∠OAC．即AC平分∠DAB．

（2）PC=PF．
证明：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠PCB+∠ACD=90°
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠CAB=∠CAD=∠PCB．
又∵∠ACE=∠BCE，∠PFC=∠CAB+∠ACE，∠PCF=∠PCB+∠BCE．
∴∠PFC=∠PCF．
∴PC=PF．

（3）连接AE．
∵∠ACE=∠BCE，
∴

AE

=

BE

，
∴AE=BE．
又∵AB是直径，
∴∠AEB=90°．
AB=

2

BE＝10，
∴OB=OC=5．
∵∠PCB=∠PAC，∠P=∠P，
∴△PCB∽△PAC．
∴

PB

PC

＝

BC

CA

．
∵tan∠PCB=tan∠PCD=

3

4

．
∴

PB

PC

＝

BC

CA

=

3

4

．
设PB=3x，则PC=4x，在Rt△POC中，（3x+5）²=（4x）²+5²，
解得x₁=0，x2＝

30

7

．
∵x＞0，∴x＝

30

7

，
∴PF=PC=

120

7

．