Question

已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线

已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；（2）设函数h（x）=f（x）-g（x），当h（x）存在最小值时，求其最小值φ．

Answer 1

解（1）已知函数f（x）=

x

，g（x）=alnx，a∈R．
则：f′（x）=

1

2 x

，g′（x）=

a

x

（x＞0），
由已知曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在交点处有相同的切线，）
故有

x

=alnx且

1

2 x

=

a

x

，
解得a=

e

2

，x=e²，
∵两条曲线交点的坐标为（e²，e）切线的斜率为k=f′（e²）=

1

2e

，
所以切线的方程为y-e=

1

2e

（x-e²）；
（2）由条件知h（x）=

x

-alnx（x＞0），
∴h′（x）=

1

2 x

? 

a

x

＝

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