Question

已知函数fx=（ax）+（b/x）+c（a>0）

函数f(x)=（ax）+（b/x）+c（a>0）在（1，f(1)）处切线方程为y=x-1，求：<1>：用a表示b、c；<2>若f(x)>=lnx在[1，正无穷）恒成立，求a的范围

Answer 1

f(x)=（ax）+（b/x）+c（a>0）
求导
f'(x)=a-b/x²
f'(1)=a-b=1
带入x=1 y=1-1=0
f(1)=1+b+c=0
b=a-1
c=-b-1=-a

2.
设 g(x)=f(x)-lnx
=ax+(a-1)/x-a-lnx
g'(x)=a-(a-1)/x²-1/x
=[ax²-x-(a-1)]/x²
=(ax+a-1)(x-1)/x²
令 g'(x)=0得
x=(1-a)/a 或 x=1
当 (1-a)/a<1 a>1/2时
最小值 g(1)=a-1≥0 a≥1
所以 a≥1
当a=1/2时g'(x)≥0恒成立
g(x)min=g(1)=a-1=1/2-1=-1/2<0不符合
当 0<a<1/2时
在x=1时g(x)取极大值g(1)=a-1<0
因为在x=(1-a)/a处取极小值
并且函数只有这两个极值点
所以 g(1)>g[(1-a)/a]
所以 g[(1-a)/a]<0不符合

综上 a≥1

Answer 2

1.f'(x)=a-b/x²
∵切线是y=x-1，∴f'(1)=1，f(1)=1-1=0
∴f'(1)=a-b=1 f(1)=a+b+c=0
解得b=a-1 c=-2a+1
2.f(x)=ax+(a-1)/x+(-2a+1)
∴F(x)=f(x)-lnx=ax+(a-1)/x+(-2a+1)-lnx
F'(x)=a-(a-1)/x²-1/x=[ax²-x-(a-1)]/x²=(x-1)(ax+a-1)/x²
∵x>1，
∴若a<1/2，则[1,(1-a)/a]递减；则[(1-a)/a，+∞)递增，最小值是F((1-a)/a)；若a>=1/2，则[1,+∞）递增，最小值是F(1).
根据题意F(x)>=0在[1，+∞）上恒成立，∴需要F(x)在[1,+∞）上的最小值>=0
即a<1/2时，F((1-a)/a)>=0，无解；a>=1/2时，F(1)=2a-1>=0，成立；
综上所述，a>=1/2

Answer 3

1.f'(x)=a-b/x²
∵切线是y=x-1，∴对原方程求导f'(1)=1，f(1)=1-1=0
∴f'(1)=a-b=1 f(1)=a+b+c=0
解得b=a-1 c=-2a+1
2.f(x)=ax+(a-1)/x+(-2a+1)
∴F(x)=f(x)-lnx=ax+(a-1)/x+(-2a+1)-lnx
F'(x)=a-(a-1)/x²-1/x=[ax²-x-(a-1)]/x²=(x-1)(ax+a-1)/x²
∵x>1，
∴若a<1/2，则[1,(1-a)/a]递减；则[(1-a)/a，+∞)递增，最小值是F((1-a)/a)；若a>=1/2，则[1,+∞）递增，最小值是F(1).
根据题意F(x)>=0在[1，+∞）上恒成立，∴需要F(x)在[1,+∞）上的最小值>=0
即a<1/2时，F((1-a)/a)>=0，无解；a>=1/2时，F(1)=2a-1>=0，成立；
综上所述，a>=1/2 。