Question

已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆上.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的左右顶点分别是A、B

已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆上.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的左右顶点分别是A、B，过点 的动直线与椭圆交于M，N两点，连接AN、BM相交于G点，试求点G的横坐标的值.

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Answer 1

（1）椭圆C方程是 ；（2）G的横坐标的值为8.

试题分析：（1）由 ，又点 在椭圆上，所以 ，这样便得一方程组，解这个方程组求出a、b的值，即可得椭圆C的方程；（2）首先考虑直线MN垂直于 轴的情况，易得此时交点为 ，由此可知，点G的横坐标应当为8.当直线MN不垂直 轴时，设直线MN： ， .由A、N、G三点共线有 ，由A、N、G三点共线有 ，有 ，即 ，化简 ，当 时化简得 .接下来联立直线MN与椭圆方程再用韦达定理代入此等式验证即可. （1）由 ，又点 在椭圆上，所以 解得 ，则椭圆C方程是 ；                   .3分 （2）当直线MN垂直于 轴，交点为 ， 由题知直线AN： ，直线MB： ，交点      .5分 当直线MN不垂直 轴时，设直线MN： ， 联立直线MN与椭圆方程得 ，        .7分 因为 ，由A、N、G三点共线有 同理 ，由A、N、G三点共线有 有 ，即 ，化简 ，验证当 时化简得 带入韦达定理恒成立，因此G的横坐标的值为8.   13分