Question

设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn+1=Sn+λ（n∈N*，λ为常数），a1=2，a2=1．（1）求数列{an}的通项公式

设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn+1=Sn+λ（n∈N*，λ为常数），a1=2，a2=1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求所有满足等式Sn?mSn+1?m=1am+1成立的正整数m，n．

Answer 1

（1）由题意，得2S₂=S₁+λ，求得λ=4．
所以，2S_n+1=S_n+4①
当n≥2时，2S_n=S_n-1+4②
①-②，得an+1＝

1

2

an（n≥2），又a2＝

1

2

a1，
所以数列{a_n}是首项为2，公比为

1

2

的等比数列．
所以{a_n}的通项公式为an＝(

1

2

)n?2（n∈N^*）．
（2）由（1），得Sn＝4(1?

1

2n

)，
由

Sn?m

Sn+1?m

＝

1

am+1

，得1+

an+1

Sn?m

＝1+am，化简得

2

(4?m)2n?4

＝

4

2m

，
即（4-m）2ⁿ-4=2^m-1，即（4-m）2ⁿ=4+2^m-1．（*）
因为2^m-1+4＞0，所以（4-m）?2ⁿ＞0，所以m＜4，
因为m∈N^*，所以m=1或2或3．
当m=1时，由（*）得3×2ⁿ=5，所以无正整数解；
当m=2时，由（*）得2×2ⁿ=6，所以无正整数解；
当m=3时，由（*）得2ⁿ=8，所以n=3．
综上可知，存在符合条件的正整数m=n=3．