Question

高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶，甲车在前，乙车在后，速度均为v0=30m/s，相距s0=100m，t=0时

高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶，甲车在前，乙车在后，速度均为v0=30m/s，相距s0=100m，t=0时，甲车遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化的关系分别如图甲、乙所示，以运动方向为正方向，则：（1）两车在0～9s内何时相距最近？最近距离是多少？（2）若要保证t=12s时乙车在甲车后109m，则图乙中a0应是多少？

Answer 1

（1）由图象知，甲车前3s做匀减速运动，乙车做匀速直线运动，3s末甲车速度为0，此过程乙的速度大于甲的速度，故两者距离减小，接着甲开始做匀加速运动而乙做匀减速运动，两车距离进一步减小，当甲乙两车速度相等时两车相距最近，所以有前3s甲车的位移为：
x甲1＝

v0

2

t＝

30

2

×3m＝45m，
乙车的位移为：x_乙1=v₀t=30×3m=90m
3s后甲车做匀加速直线运动，乙车做匀减速直线运动，当两车速度相等时两车相距最近．两车速度相等时的时间为：
a_甲2t₂=v₀+a_乙t₂
代入甲乙的加速度和乙车的初速度v₀可解得当两车速度相等时所经历的时间为：
t2＝

v0

a甲2?a乙

＝

30

5?(?5)

s＝3s
所以此过程中甲的位移为：
x甲2＝

a甲2t2

2

t2＝

5×3

2

×3m＝22.5m，
乙的位移：x乙2＝v0t2+

1

2

a乙t22＝30×3+

1

2

×(?5)×32m=67.5m
所以此时甲乙相距的最近距离为：△x=x_甲1+x_甲2+s₀-（x_乙1+x_乙2）=45+22.5+100-（90+67.5）m=10m
（2）在3-9s时间，乙做匀减速直线运动，甲做初速度为0的匀加速直线运动，因为甲乙加速度大小相等，运动时间相同，可知，在0-9s时间内甲乙位移相等，故9s末时甲乙间距离为：△x₂=x_甲1+s₀-x_乙1=45+100-90m=55m
所以在9-12s的时间内t₃=3s，甲做匀速直线运动，速度为v₀=30m/s，乙做初速度为0的匀加速直线运动，加速度为a_乙2，根据题意有t=12s时，x_甲3=v₀t₃=30×3m=90m，x乙3＝

1

2

a乙2

t

2 3

甲乙相距109m，所以有：
x_甲3+△x₂-x_乙3=109m
可得：x_乙3=x_甲3+△x₂-109m=90+55-109m=36m
所以a乙2＝

2x乙3

t 2 3

＝

2×36

32

m/s2＝8m/s2，
即图乙中的a0＝a乙3＝8m/s2．
答：（1）两车在0～9s内6s末相距最近，最近距离是10m；
（2）若要保证t=12s时乙车在甲车后109m，则图乙中a₀应是8m/s²．