Question

用行列式性质，化下列行列式为上三角形行列式，并求其值

用行列式性质，化下列行列式为上三角形行列式，并求其值。
│1 2 3 4│
│2 3 4 1│
│3 4 1 2│
│4 1 2 3│
将下列行列式化为三角形行列式，
│2 （-5） 3 1 │
│1 3 （-1） 3 │
│0 1 1 （-5）│
│（-1）（-4） 2 （-3）│

计算n阶行列式
│0 x x ………x│
│x 0 x ..........x │
│x x 0 .........x│
│.....................................│
│x x x ...........0
谢谢！│

Answer 1

前两个硬算，自己练习。第三个：
先提取 x^n, 变成对角之外元素全是1的矩阵，并记其行列式为a_n。

明显地，a_2=-1。

对于一般的a_n，把行列式第一列之外所有列都加到第一列，再提取公因数 n-1，得到的行列式跟a_n相比，只多了(1,1)位置的1。

也就是说，a_n / ( n-1 ) 按照第一列展开时，除了第一项是a_(n-1)之外，其它的项就是a_n的对应项。这意味着，a_n / ( n-1 ) =a_(n-1) + a_n。很容易看出这个数列可化为等比数列，
a_n = (-1)^(n-1) * (n-1).

原题答案： x^n (-1)^(n-1) * (n-1).