Question

已知R上奇函数f(x)的导数为f'(x).当x<0时，f(x)满足2f(x)+xf'(x)<xf(x).则f(x)在R上零点个数为

Answer 1

x<0：
[x-2]f(x)>xf'(x)
f(x)[x-2]/x<f'(x)
f'(x)>f(x)[2-x]/(-x)
如果f(x)>=0则f'(x)>0.
假设f(-∞)>=0.则(-∞,0)增，与奇函数f(0)=0矛盾，
可见x充分小的时候，f(x)为负。从-∞到负半轴第一个零点（假设有的话）抛开不算，该零点之后一定都是增函数，也还与f(0)=0矛盾。
可见，-∞到0之间没有零点。
奇函数对称，则正半轴也没有零点。
故零点只有x=0.

追问

从负无穷到负半轴第一零点抛开不算，该零点之后一定都是增函数怎么得来的？

追答

我假设了f'(x)连续。
1）设上面假设存在的第一个零点为x0f(x0)[2-x0]/(-x0)=0
由f'(x)连续，则x0附近存在邻域(x0,x0+Δx)使得f'(x)>0.
由于f(x0)=0，则在该邻域内有f(x)>f(x0)=0.
也就是说，连续函数f(x)和f'(x)在(x0,x0+Δx)内的曲线在x轴上方。
2）假设在(x0+Δx，0)中间还存在别的零点x1，那么由于f(x0+Δx)>0，f(x1)=0，由拉格朗日中值定理 可得在(x0+Δx，x1)存在一点导数为负。
现在矛盾来了，f(x0+Δx)>0，f(x1)=0，由连续函数的连续性，必有(x0,x0+Δx)内f(x)>0,
由于f'(x)>f(x)[2-x]/(-x)，可见f'(x)>0。这与上面的存在一点导数为负是矛盾的。

故在(x0+Δx，0)中间不存在别的零点。
3）从而由于f(x0+Δx)>0,f(0)=0，可知(x0+Δx，0)中间都有f(x)>0.
4）从而(x0+Δx，0)中间都有f'(x)>0.
这就是我为什么说，从负无穷到负半轴第一零点抛开不算，该零点之后一定都是增函数。

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