Question

如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结

如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．（1）求证：①△ABG≌△AFG； ②BG＝GC；（2）求△FGC的面积.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）S △ FGC ＝3.6．

试题分析：（1）①利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；②利用勾股定理得出GE 2 =CG 2 +CE 2 ，进而求出BG即可； （2）首先过C作CM⊥GF于M，由勾股定理以及由面积法得，CM=2.4，进而得出答案． （1）①在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°， ∵将△ADE沿AE对折至△AFE， ∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°， ∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°， 又∵AG=AG， 在Rt△ABG和Rt△AFG中， ∵ ， ∴△ABG≌△AFG（HL）； ②∵CD=3DE ∴DE=2，CE=4， 设BG=x，则CG=6﹣x，GE=x+2 ∵GE 2 =CG 2 +CE 2 ∴（x+2） 2 =（6﹣x） 2 +4 2 ， 解得  x=3 ∴BG=3， 又∵AB＝6， ∴BG= GC； （2）过C作CM⊥GF于M， ∵BG=GF=3， ∴CG=3，EC=6﹣2=4， ∴GE=5， CM?GE=GC?EC， ∴CM×5=3×4， ∴CM=2.4， ∴S △ FGC ＝ GF·CM=3.6．