Question

如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F． （1）求证：△ABE≌△CDF；（2

如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F． （1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

试题分析：（1）由BF=DE，可得BE=DF，由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB=∠CFD=90°，又由AB=CD，在直角三角形中利用HL即可证得：△ABE≌△CDF； （2）由△ABE≌△CDF，即可得∠ABE=∠CDF，根据内错角相等，两直线平行，即可得AB∥CD，又由AB=CD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即即可证得四边形ABCD是平行四边形，则可得AO=CO． 试题解析：（1）∵BF=DE， ∴BF-EF=DE-EF， 即BE=DF， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB=∠CFD=90°， ∵AB=CD， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）； （2）连接AC，如图： ∵△ABE≌△CDF， ∴∠ABE=∠CDF， ∴AB∥CD， ∵AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO． 考点: 1.平行四边形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质.