Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．

Answer 1

（1）过点C作CE⊥AB于E，

在Rt△BCE中，
∵∠B=60°，BC=4，
∴CE=BC?sin∠B=4×

3

2

=2

3

，
∴AD=CE=2

3

．

（2）存在或埋．若以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似，
则△PCB必有一个角是直角．
①当∠PCB=90°时，在Rt△PCB中，BC=4，∠B=60°，PB=8，
∴AP=AB-PB=2．
又由（1）知AD=2

3

，在Rt△ADP中，锋团察tan∠DPA=

AD

AP

=

2 3

2

=

3

，
∴∠DPA=60°，
∴∠DPA=∠CPB，
∴银茄△ADP∽△CPB，
∴存在△ADP与△CPB相似，此时x=2．
②∵当∠CPB=90°时，在Rt△PCB中，∠B=60°，BC=4，
∴PB=2，PC=2

3

，
∴AP=8．
则

AD

PC

≠

Answer 2