Question

定积分求极限有关问题

1/n[ln(1+1/n)+ln(1+2/n)+……+ln(1+(n-1) / n)]
=∫(1,0)ln(1+x)dx 定积分求极限是n从1到n的和等于定积分，为什么此题n从1到n-1也等于0到1的定积分？为什么？

Answer 1

首先你给的等式是不对的，等式左边应该有个极限符号，当n趋向于无穷大的时候，你的等式才成立。
然后再看等式，你可以将等式反过来看，从定积分的几何意义出发，该定积分的几何意义是以y=ln（1+x）为曲边、y=0、x=1围成的曲边三角形的面积；极限意义就是指将这个曲边三角形的底分成n等份，得到n个曲边梯形，等式左边的各项就是指各个曲边梯形的面积，即曲边梯形面积之和。
当n趋向于无穷大时，曲边梯形近似为矩形，则矩形面积为宽乘以高；当矩形的高取左边那条时，极限表示为1/n[ln(1+0/n)+ln(1+1/n)+......+ln(1+(n-1)/n)](其中n趋向于无穷大)，即你所说的n从0到n-1；当矩形的高取右边那条时，极限表示为1/n[ln(1+1/n)+ln(1+1/n)+......+ln(1+n/n)](其中n趋向于无穷大)，即你所说的n从1到n。