Question

已知a，b，c均为正数，证明： a 2 + b 2 + c 2 +( 1 a + 1 b + 1 c

已知a，b，c均为正数，证明： a 2 + b 2 + c 2 +( 1 a + 1 b + 1 c ) 2 ≥6 3 ，并确定a，b，c为何值时，等号成立．

Answer 1

证明： （证法一） 因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得 a 2 + b 2 + c 2 ≥3(abc ) 2 3 1 a + 1 b + 1 c ≥3(abc ) - 1 3 ① 所以 ( 1 a + 1 b + 1 c ) 2 ≥9(abc ) - 2 3 ②（6分） 故 a 2 + b 2 + c 2 +( 1 a + 1 b + 1 c ) 2 ≥3(abc ) 2 3 +9(abc ) - 2 3 ． 又 3(abc ) 2 3 +9(abc ) - 2 3 ≥2 27 =6 3 ③ 所以原不等式成立．（8分） 当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立．当且仅当 3(abc ) 2 3 =9(abc ) - 2 3 时，③式等号成立． 即当且仅当a=b=c= 3 1 4 时，原式等号成立．（10分） （证法二） 因为a，b，c均为正数，由基本不等式得 a 2 + b 2 ≥2ab b 2 + c 2 ≥2bc c 2 + a 2 ≥2ac 所以a 2 +b 2 +c 2 ≥ab+bc+ac① 同理 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 ≥ 1 ab + 1 bc + 1 ac ②（6分） 故 a 2 + b 2 + c 2 +( 1 a + 1 b + 1 c ) 2 ③ ≥ab+bc+ac+3 1 ab +3 1 bc +3 1 ac ≥6 3 所以原不等式成立．（8分） 当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，（ab） 2 =（bc） 2 =（ac） 2 =3时，③式等号成立． 即当且仅当a=b=c= 3 1 4 时，原式等号成立．（10分）