Question

设z1是虚数，z2＝z1+1z1是实数，且?1≤z2≤1（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；（2）若ω＝1?z11+z

设z1是虚数，z2＝z1+1z1是实数，且?1≤z2≤1（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；（2）若ω＝1?z11+z1，求证：ω为纯虚数．

Answer 1

（1）设z₁=a+bi（a，b∈R，且b≠0），
则z2＝z1+

1

z1

＝a+bi+

1

a+bi

＝(a+

a

a2+b2

)+(b?

b

a2+b2

)i
∵z₂是实数，b≠0，
∴有a²+b²=1，即|z₁|=1，
∴可得z₂=2a，
由-1≤z₂≤1，得-1≤2a≤1，
解得?

1

2

≤a≤

1

2

，
即z₁的实部的取值范围是[?

1

2

，

1

2

]．
（2）ω＝

1?z1

1+z1

＝

1?a?bi

1+a+bi

＝

1?a2?b2?2bi

(1+a)2+b2

＝?

b

a+1

i
∵a∈[?

1

2

，

1

2

]，b≠0，
∴ω为纯虚数．