Question

记公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=9，a3，a5，a8成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an及

记公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=9，a3，a5，a8成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an及Sn；（Ⅱ）设bn=2n?an，求Tn=b1+b2+…+bn．

Answer 1

（I）由a₃，a₅，a₈成等比数列得a₅²=a₃a₈，又S₃=9，（1分）
由此得

3a1+ 3×2 2 d=9 (a1+4d)2=(a1+2d)(a1+7d)

，解得，a₁=2，d=1（5分）
∴a_n=n+1，S_n=

n(2+n+1)

2

=

1

2

n²+

3

2

n（7分）
（II）b_n=2ⁿ?a_n=（n+1）?2ⁿ
∴T_n=2?2+3?2²+4?2³+…+（n+1）?2ⁿ
2T_n=2?2²+3?2³+…+n?2ⁿ+（n+1）?2ⁿ⁺¹（9分）
两式相减得，
-T_n=2?2+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）?2ⁿ⁺¹
=2+

2(1-2n)

1-2

-（n+1）?2ⁿ⁺¹（11分）
=-n?2ⁿ⁺¹（12分）
∴T_n=n?2ⁿ⁺¹（13分）