Question

（2014?西城区二模）经过点（1，1）的直线l：y=kx+2（k≠0）与反比例函数G1y1＝mx(m≠0)的图象交于点A（-

（2014?西城区二模）经过点（1，1）的直线l：y=kx+2（k≠0）与反比例函数G1y1＝mx(m≠0)的图象交于点A（-1，a），B（b，-1），与y轴交于点D．（1）求直线l对应的函数表达式及反比例函数G1的表达式；（2）反比例函数G2：y2＝tx(t≠0)，①若点E在第一象限内，且在反比例函数G2的图象上，若EA=EB，且△AEB的面积为8，求点E的坐标及t值；②反比例函数G2的图象与直线l有两个公共点M，N（点M在点N的左侧），若DM+DN＜32，直接写出t的取值范围．

Answer 1

解答：解：（1）∵直线l：y=kx+2（k≠0）经过（-1，1），
∴k=-1，
∴直线l对应的函数表达式y=-x+2．
∵直线l与反比例函数G_1：y1＝

m

x

(m≠0)的图象交于点A（-1，a），B（b，-1），
∴a=b=3．
∴A（-1，3），B（3，-1）．
∴m=-3．
∴反比例函数G₁函数表达式为y＝?

3

x

．

（2）①∵EA=EB，A（-1，3），B（3，-1），
∴点E在直线y=x上．
∵△AEB的面积为8，AB＝4

2

，
∴EH＝2

2

．
∴△AEB 是等腰直角三角形．
∴E （3，3），
此时t=3×3=9

②分两种情况：

（ⅰ）当t＞0时，
∵y=-x+2，与x轴交于点F（2，0），与y轴交于点D（0，2），
∴DF=2

2

，
∴DM+DN＜3

2

，
∴只要y=-x+2与y₂=

t

x

有交点坐标即可，
∴-x+2=

t

x

，
整理得：x²-2x-t=0，
∴b²-4ac＞0，
∴4-4t＞0，
解得：t＜1，
则0＜t＜1；

（ⅱ）当t＜0时，当DM+DN=3

2

，
则DM=FN=

2

2

，
∵y=-x+2，与x轴交于点F（2，0），与y轴交于点D（0，2），
∴可求出M（-

1

2

，

5

2

），
则xy=t=-

5

4

，
则?

5

4

＜t＜0．
综上，当?

5

4

＜t＜0或0＜t＜1时，反比例函数G₂的图象与直线l有两个公共点M，N，且DM+DN＜3

2

．