设可导函数f(x)满足f(x)cosx+2∫(0~x)f(t)sintdt=x+1,求f(x)
f(x)cosx+2∫(0~x)f(t)sintdt=x+1
两边求导f′(x)cosx-sinxf(x)+2f(x)sinx=1
即f′(x)cosx+f(x)sinx=1
两边同时除以cos²x,得
[f′(x)cosx+f(x)sinx]/cos²x=1/cos²x
即[f(x)/cosx]′=1/cos²x
两边积分∫(0~x)[f(x)/cosx]′dx=∫(0~x)1/cos²xdx
f(x)/cosx|(0~x)=tanx|(0~x)
f(x)/cosx-f(0)=tanx
在原方程中令x=0
得f(0)=1
那么f(x)/cosx-1=tanx
f(x)=sinx+cosx
可导性与连续性
如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。
魏尔斯特拉斯函数是由魏尔斯特拉斯构造出的一个函数，其在R上处处连续，但处处不可导。
需要用到微分方程知识
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f(x)cosx+2∫(0~x)f(t)sintdt=x+1
两边求导f′(x)cosx-sinxf(x)+2f(x)sinx=1
即f′(x)cosx+f(x)sinx=1
两边同时除以cos²x，得
[f′(x)cosx+f(x)sinx]/cos²x=1/cos²x
即[f(x)/cosx]′=1/cos²x
两边积分∫(0~x)[f(x)/cosx]′dx=∫(0~x)1/cos²xdx
f(x)/cosx|(0~x)=tanx|(0~x)
f(x)/cosx-f(0)=tanx
在原方程中令x=0
得f(0)=1
那么f(x)/cosx-1=tanx
f(x)=sinx+cosx
扩展资料
可导函数、不可导函数和物理、几何、代数的关系：
导数与物理、几何和代数关系密切：在几何中可以求正切；在代数中可以求瞬时变化率；在物理中可以求速度和加速度。物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念可以用导数来表示。
例如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度（对于线性运动，位移的一阶导数是相对于时间的瞬时速度，二阶导数是加速度），曲线在一点的斜率，以及经济学中的边际和弹性。
