Question

为什么h->0时lim(f(2h)-f(h))/h存在不能保证f'(0)存在？（f(0)=0, f(x)在x=0的邻域有定义。）

Answer 1

结果为：不存在

解题过程如下：

扩展资料

给定集合X，映射U：X→P(P(X))（其中P(P(X))是X的幂集的幂集），U将X中的点x映射到X的子集族U(x)），称U(x)是X的邻域系以及U(x)中的元素（即X的子集）为点x的邻域。

邻域是一个特殊的区间，以点a为中心点任何开区间称为点a的邻域，记作U(a)。

点a的δ邻域：设δ是一个正数，则开区间（a-δ，a+δ）称为点a的δ邻域，记作

 

点a称为这个邻域的中心，δ称为这个邻域的半径。

邻域公理是现代数学拓扑结构的基础概念，是定义拓扑的五套等价公理之一。这套公理直接定义了空间上的整套领域系，而非简单定义某个点的邻域。映射U即是将x映射至x邻域组成的集合。

若A和B都是x的邻域，则A和B的交集也是x的邻域。即邻域对于有限交运算封闭。若A是x的邻域，则所有包含A的集合都是x的邻域。

若A是x的邻域，则存在一个被A包含的集合B（可以相等），使得B是其中所有点的邻域。换言之，若x有一个邻域，那么一定可以将其缩小，缩小到它是其中所有点的邻域。更关键的，这样的邻域当且仅当它是X中的开集，这也是邻域公理为何等价于开集公理，从而可以通过它定义X上拓扑的原因。

Answer 2

如果f(h)是h的连续函数就没有问题了.
反例：f(x)=x+1,当x不为0时；
f(x)=0,当x=0时；
此时lim (f(2h)-f(h))/h=1,
但f(x)在x=0不连续,当然不可导.
其实两个问题最大的区别就是f(ln(1-h))/h利用了
f(0)的信息,这个表达式就是
(f(ln(1-h))-f(0))/ln(1-h)* ln(1-h)/h,因为ln(1-h)/h极限是-1,
所以f(ln(1-h))/h极限存在等价于(f(ln(1-h))-f(0))/ln(1-h)
=(f(t)-f(0))/t,其中t=ln(1-h).
而(f(2h)-f(h))/h与f(0)实际上无关.
化简以后还是没有利用f(0)的信息.
最主要的就是(f(h)-f(0))/h这个表达式你得保证
极限的存在性.(f(ln(1-h))-f(0))/ln(1-h)按照上面的分析是有极限的,
实际上利用了f(x)在x=0的连续性.
但(f(h)-f(0))/h在第一种情况下你不知道极限是否存在.
如果存在就没有问题了（因此若加上条件f(x)在x=0连续,就是可导的
一个等价定义）,但不存在的话这么加上f(0)减去f(0)的做法是没有任何用处的.
再补充一下,其实这就是极限的四则运算的性质：
若f(h)－g(h)的极限存在,你不能保证f(h)和g(h)极限都存在,但若其中一个存在,
另一个必然存在；f(h)*g(h)极限存在,也不能保证f(h)和g(h)极限都存在,但若
其中一个存在且不为0,则另一个极限必然存在.上面说的就是这个道理而已.

Answer 3