Question

在三角形ABC中，角BAC=45度，AD垂直BC于点D，己知BD=6，DC=4，求AD的长度

Answer 1

设AD与CE交于M点，
M为三角形ABC的垂心，
连结BM并延长交AC于F点，
则BF垂直AC，
三角形BMD与三角形BCF相似，有：
MD/CF＝BM/BC（式1）。
三角形BMD与三角形ACD相似，有：
MD/DC＝BD/AD（式2）。
同时，因角BAC=45度，则有角ABF＝45度，
而三角形BME与三角形CMF相似，角MCF也为45度，则
2倍的CF平方＝MC平方＝MD平方+DC平方＝MD平方+16，
BM平方＝MD平方+BD平方＝MD平方+36。
将（式1）两端均平方得
MD平方/CF平方＝BM平方/BC平方（式3），
将CF平方与BM平方代入（式3），得
MD平方的平方－148MD平方+576＝0
配方，移项，得
(MD平方－74)的平方＝4900
MD平方＝144或MD平方＝4，解得MD＝12或2
将MD＝12代入（式2）得AD＝2，明显不合理，舍去。
将MD＝2代入（式2）得AD＝12。
所以答案为AD＝12

Answer 2

过点B作BE⊥AC，交AC于点E，交AD于点F
∵AD⊥BD
∴∠CAD=∠CBE
∵∠BAC=45°
∴BE=AE
∴△AEF≌△BEC
∴AF=BC=6+4=10
∵CD/AD=DF/BD
∴4/(10+DF)=DF/6
∵DF>0，
∴DF=2
∴AD=12

Answer 3

解：
作DE⊥AC，交AC于点E，交AD于点F
∵AD⊥BD
∴∠C+∠CBE=∠C+∠CAD
∴∠CAD=∠CBE
∵∠BAC=45°
∴BE=AE
∴△AEF≌△BEC
∴AF=BC=6+4=10
设DF=x
∵tan∠CAD=tan∠FBD
∴4/(10+x)=x/6
解得x=2
∴AD=10+2=12

Answer 4