Question

如图，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与点A、B重合），连接PD，

过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q．（2）连接AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）；

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质。
专题：探究型。
分析：（1）假设存在一点P，使点Q与点C重合，再设AP的长为x，利用勾股定理即可用x表示出DP、PC的长，再在Rt△PCD中利用勾股定理即可求出x的值；
（2）连接AC，设BP=x，则AP=m﹣x，由相似三角形的判定定理得出△PBQ∽△ABC，△APD∽△BQP，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出BQ的表达式；
（3）连接DQ，把四边形PQCD化为两个直角三角形，再用m表示出PD及CQ的长，利用三角形的面积公式即可解答．
解答：解：（1）存在点P．
假设存在一点P，使点Q与点C重合，如图1所示，设AP的长为x，则BP=10﹣x，
在Rt△APD中，DP2=AD2+AP2，即DP2=42+x2，
在Rt△PBC中，PC2=BC2+PB2，即DP2=42+（10﹣x）2，
在Rt△PCD中，CD2=DP2+PC2，即102=42+x2+42+（10﹣x）2，
解得x=2或8，
故当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合，此时AP=2或8；

（2）连接AC，设BP=x，则AP=m﹣x，
∵PQ∥AC，
∴△PBQ∽△ABC，
∴ = ，即 = ①，
∵DP⊥PQ，
∴∠APD+∠BPQ=90°，
∵∠APD+∠ADP=90°，∠BPQ+∠PQB=90°，
∴∠APD=∠BQP，
∴△APD∽△BQP，
∴ = ，即 = ②，
①②联立得，BQ= ；

（3）连接DQ，
设AP=x，由（1）知在Rt△APD中，DP2=AD2+AP2，即DP2=42+x2，
在Rt△PBC中，PC2=BC2+PB2，即DP2=42+（m﹣x）2，
若△PQD为等腰三角形，则42+x2=42+（m﹣x）2，
解得x= ，
∵BQ= ，
∴CQ=4﹣ = ，
∴S四边形DPQC=S△DPQ+S△DCQ，
即S= × × + × ×m= （m＞4）．

Answer 2

∵ PQ∥AC，∴ ∠BQP=∠BCA，∠BPQ=∠BAC
又 ∠DPQ=90°，∠APD+∠ADP=90°=∠APD+∠BPQ，
∴∠ADP=∠BPQ=∠BAC
∴ △ADP∽△ABC，∴ AP/BC=AD/AB，即 AP=AD*BC/AB=16/m
BP=AB-AP=m-16/m=(m^2-16)/m
△PBQ∽△ABC，∴ BQ/BC=BP/AB，BQ=BP*BC/AB=4(m^2-16)/m^2=4-16/m^2

Answer 3

连接DQ，由已知 PQ⊥PD，所以只有当DP=PQ时，△PQD为等腰三角形∴∠BPQ=∠ADP，又∠B=∠A=90°，
∴△PBQ≌△DAP，
∴PB=DA=4，AP=BQ=m-4，
∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式为：
S四边形PQCD=S矩形ABCD-S△DAP-S△QBP=4m- 12×4×（m-4）- 12×4×（m-4）=16（4＜m≤8）．
═16（4＜m≤8）．
连接AC，设BP=x，则AP=m-x，
∵PQ∥AC，
∴△PBQ∽△ABC，
∴ BQBC= BPAB，即 BQ4= xm①，
∵DP⊥PQ，
∴∠APD+∠BPQ=90°，
∵∠APD+∠ADP=90°，∠BPQ+∠PQB=90°，
∴∠APD=∠BQP，
∴△APD∽△BQP，
∴ ADPB= APBQ，即 4x= m-xBQ②，
①②联立得，BQ= 4m2-64m2；

Answer 4

解答：根据函数关系可以建立一定的坐标系，（题目没看到图）我选择以B为原点：建立坐标，
有：C（4,0），D（4，10）,设P（0，Y）可得：两直线垂直关系，斜率乘积为-1,或者采用向量之间关系,
K1=(10-Y)/4；K2=-Y/4，K1×K2=-1，解得(Y-8)(Y-2)=0，所以Y=8，或者Y=2，
因此AP=8或者AP=2。
（2）因为PQ∥AC，两直线平行，斜率相等，且A（0，m），Q（X，0）有：
KAC=-m/4，KPQ=-Y/X，又因为PQ⊥PD，因此有：(m-Y)Y=4X，KAC=KPQ，联立解得：
m^2×（4-X）=64，所以X=4-8/m；为所求，因此BQ=4-8/m；
（3）因为△PQD为等腰三角形，且∠DPQ=90°，所以PD=PQ，根据边长关系可得：
Y^2+X^2=16+(Y-m)^2；
面积S=S1+S2（S1=1/2XPDXPQ；S2=1/2XQCXCD) 可以得出：
X^2=16-2Ym+m^2；4X=mY-Y^2；S=1/2[16+(Y-m)^2]+1/2(4-x)m；
即可推出S的关系式