Question

高等数学，傅里叶级数题目求解

Answer 1

cosx=sin(π/2-x)
所以arcsin(cosx)=π/2-x
f(x)=a0+∑aisin(ix)+∑bicos(ix) （以下积分区域都是-π，π）
∫f(x)=2πa0
a0=π/2
∫f(x)cosix=∫a0cosix+biπ
---->bi=-(∫xcosix)/π=-[xsinix/i+cosix/i^2]/π=0
∫f(x)sinix=∫a0sinix+aiπ
---->ai=∫-xsinixdx)/π=[xcosix/i-sinix/i^2]/π=(-1)^i
所以f(x)=π/2+∑(-1)^i*sin(ix)
所以x=∑(-1)^i*sin(ix)
同理：x^3=∑aisin(ix)
∫x^3sinixdx=ai*π
得ai=(-1)^n[-2π^3/i+8π/i^3]
所以x^3=∑(-1)^i[-2π^3/i+8π/i^3]sin(ix)
x^3+2π^3x=∑(-1)^i*8π*sin(ix)/i^3
令x=π/2,只有i是奇数时sin(ix)才有值，要么1，要么-1,偶数时是0.
所以π^3/8+π^4=∑-8π(-1)^n/i^3 ， i=2n-1
即π^3/8+π^4=∑8π(-1)^(n+1)/(2n-1)^3
所以∑(-1)^(n+1)/(2n-1)^3=π^/8+π/64

追问

对不起，你做的是错的，所以不会给你采纳的

追答

x=∑(2(-1)^(n+1)/n)sin(nx)

x^3/12=∑((-1)^n/n^3)sin(nx)
令x=π/2,sin(nx)=sin(nπ/2),只有n=2i-1，sin(nx)=(-1)^(i+1),其余sin(nx)=0
所以(π/2)^3/12=∑(-1)^(2i-1)*(-1)^(i+1)/(2i-1)^3=∑(-1)^i/(2i-1)^3=π^3/96
步骤是这样的，就是好像算不对...反正要x^3的傅里叶才能得到(2n-1)^3这种 我再算算