Question

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c，的对称轴为x=2，且经过点B（0，4），C（5，9），直线BC与x轴交于A

点P是抛物线上一点且不予B重合，请找出抛物线上所有满足到直线BC距离为3倍根号2的点P

Answer 1

设y=a(x-2)²+b
带入点B（0，4），C（5，9）
得4a+b=4,9a+b=9
∴a=1,b=0
∴y=(x-2)²
又∵B（0，4），C（5，9），
∴直线BC解析式为y=-x+4
∴直线BC与坐标轴夹角为45度
∵P到直线BC距离为3√2，3√2*√2=6
∴P在直线y=-x+10或直线y=-x-2上
∴-x+10=(x-2)²或-x-2=(x-2)²
解得x1=3/2±√33/2,x2无解
∴P在直线y=-x+10上
∴P1（3/2+√33/2，17/2-√33/2）
P2（3/2-√33/2，17/2+√33/2）

Answer 2

解：因为抛物线y=ax^2+bx+c的对称轴为x=2，y=ax^2+bx+c可化为y=a(x-2)^2+k，把B、C两点坐标值代入，求得a=1，k=0，所以抛物线的解析式为y=(x-2)^2=x^2-4x+4，直线BC的解析式可求得为y=-x+4，即x+y-4=0，设点P的坐标为（x，y），根据点到直线距离公式有：
Ix+y-4I/根号2=3根号2，与抛物线y=x^2-4x+4联立，解得x^2-3x-6=0(x^2-3x+6=0无解，舍去），所以x1=3/2+根号33/2，y1=17/2-根号33/2，或x2=3/2-根号33/2，y2=17/2+根号33/2，所以P点的坐标是（3/2+根号33/2，17/2-根号33/2）或（3/2-根号33/2，17/2+根号33/2）。