Question

已知在三角形ABC 中，角C=90度，AC=4，BC=3，动点P从点A出发，以每秒5/4个单位的速度沿AB方向向终点B运动

同时，动点Q也从点A出发，以每秒1个单位的速度沿AC方向向终点C运动。连接PC、BQ相交于点D。设两点的运动时间为t(0<t<4)。
（1）记三角形PQD的面积为S，求S关于t的函数关系式；
（2）当t为何值时，PC垂直于BQ；
（3）把三角形PQB沿直线PQ折叠成三角形PQB'，设B’Q与AB交于点E，是否存在t，使三角形BEQ是直角三角形。若存在，求t的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）相似
∵∠ACB=90°
∴AB=AC2+BC2=5
∵PA=54t，AQ=t
∴PAAB=AQBC=t4
∵∠A=∠A
∴△APQ∽△ABC
（2）∵△APQ∽△ABC
∴∠PQA=∠C=90°
∵PQBC=AQAC
∴PQ3=t4
∴PQ=34t
∵CQ=4-t
∴S=12•34t•(4-t)=-38t2+32t

（3）存在
∵PC⊥BQ
∴∠PCQ+∠BQC=90°
∵∠CBQ+∠BQC=90°
∴∠PCQ=∠CBQ
∵∠PQC=∠BCQ=90°
∴△PCQ∽△QBC
∴PQCQ=CQBC
∴t1=41+3根号73/8（舍去）t2=（41-3根号73）/8
∴存在t的值为（41-3根号73）/8，使PC⊥BQ．

（4）t1=1，t2=74．

Answer 2

解：（1）相似
∵∠ACB=90°
∴AB=AC2+BC2=5
∵PA=54t，AQ=t
∴PAAB=AQBC=t4
∵∠A=∠A
∴△APQ∽△ABC
（2）∵△APQ∽△ABC
∴∠PQA=∠C=90°
∵PQBC=AQAC
∴PQ3=t4
∴PQ=34t
∵CQ=4-t
∴S=12•34t•(4-t)=-38t2+32t

（3）存在
∵PC⊥BQ
∴∠PCQ+∠BQC=90°
∵∠CBQ+∠BQC=90°
∴∠PCQ=∠CBQ
∵∠PQC=∠BCQ=90°
∴△PCQ∽△QBC
∴PQCQ=CQBC
∴34t4-t=4-t3
∴t1=41+3738（舍去）t2=41-3738
∴存在t的值为41-3738，使PC⊥BQ．

（4）t1=1，t2=74．