Question

函数f（x）=x+a/x+b(x不等于0）.a,b属于R。若对于任意的a属于[1/2,2]，不等式f（x）小于等于10在X属于

[1/4,1]上恒成立，求b的取值范围..求详细解答...

Answer 1

函数f(x)=x+(a/x)+b(x≠0)，a,b∈R；若对于任意的a∈[1/2,2]，不等式f(x)≦10在X∈[1/4,1]上恒成立，求b的取值范围.
解：由f(x)=x+(a/x)+b≦10，故得x+(a/x)+b-10=[x²+(b-10)x+a]/x≦0
∵1/4≦x≦1，∴可去分母得同解不等式 x²+(b-10)x+a≦0.............(1)
(1)的左边：y=x²-(10-b)x+a是一个带参数a、b的一元二次函数，其图像是一条开口朝上的抛物线，参数a是抛物线在y轴上的截距，已知1/2≦a≦2，故要使(1)在区间1/4≦x≦1上恒成立，则
必须使不等式x²-(10-b)x+2≦0在区间1/4≦x≦1上恒成立。
将x=1/4代入得1/16-(10-b)/4+2=33/16-(10-b)/4=[33-4(10-b)]/16=(4b-7)/16≦0
故得4b-7≦0，b≦7/4..........①
将x=1代入得1-(10-b)+2=-7+b≦0，得b≦7..........②
①∩②={b︱b≦7/4}.
即当b≦7/4时，对于任意的a∈[1/2,2]，不等式f(x)≦10在X∈[1/4,1]上恒成立。.

追问

.........你看错题目了吧，没有括号，有括号的话完全不一样了啊..........晕。。是f（x）=x+a/x+b(x不等于0）.

追答

不是我看错题目了，而是你没有表达清楚！
按你写的：函数f（x）=x+a/x+b(x不等于0）只你理解为f(x)=x+(a/x)+b，特别是
后面那个括号里的x≠0，使人只能认为那条分数线只管a和x，即(a/x).
如果你的分数线上的分子是x+a，分母是x+b，那么你要写成f(x)=(x+a)/(x+b).这
样才能不被人误解。

Answer 2

求导，f'(x)=1-a/x^2
再求导，f''(x)=2a/x^3,
则在给定的条件下，f''(x)>0,从而f'(x)单调增
Max f'(x)=1-a
Min f'(x)=1-16a
由a的范围知道
Min f'(x)<0
若Max f'(x)>=0,则a属于[1/2,1]
则存在x使得f'(x)=0，此时，x=Sqrt(a),则Max f(x)=2Sqrt(a)+b<=2+b<=10,则b<=8

若a属于[1,2]则f'(x)<0,f(x)单调减，Max f(x)=1/4+4a+b<=1/4+8+b<=10,则b<=7/4

取交集
则 b<=7/4