Question

设M是满足下列条件的函数f(x)构成的集合:①方程f(x)-x=0有实数根 ②函数f(x)的导数f'(x)满足0<f'(x)<1.

（1） 若函数f(x)为集合M中的任意一个元素，证明：方程f(x)-x=0只有一个实数根。
（2）判断函数g(x)=x/2 -(lnx)/2 +3 （x>1）是否是集合M中的元素，并说明理由。
（3）设函数f(x)为集合M中的任意一个元素，对于定义域中α，β，当|α-2012|＜1，且|β-2012|＜1时，证明：|f(α)-f(β)|<2 。

Answer 1

(1)证明：f'(x)-1<0
即函数f(x)-x单调递减
方程f(x)-x=0有实数根，故方程f(x)-x=0只有一个实数根
(2)g'(x)=1/2-1/(2x)=1/2(1-1/x)∈(0,1/2)
g(1)-1=5/2,g(e^2)-e^2=-e^2/2+2<0
故g(x)∈M
(3)|α-β|<2,不妨设α<β
f(α)-f(β)=∫(从α到β)f'(x)dx
因为f'(x)<1
所以|f(α)-f(β)|<|α-β|f'(x)<2

Answer 2

开方程f(x)-x=0有实数根，故方程f(x)-x=0只有一个实数根
(2)g'(x)=1/2-1/(2x)=1/2(1-1/x)∈(0,1/2)
g(1)-1=5/2,g(e^2)-e^2=-e^2/2+2<0
故g(x)∈M