Question

设B、C是线段AD上的两点,且AB=CD,求证:对于平面上任意一点P,都有PA+PD>=PB+PC.

Answer 1

证明：因为三角形的两边和大于第三边
所以pa+pd>ad，pb+pc>bc
因为ad>=bc
所以pa+pd>=pb+pc

证明：做PH⊥AH,垂足为H
由勾股定理得
PA²＝AH²＋PH²
PB²＝BH²＋PH²
∵AH≥BH
∴PA²≥PB²
∴PA≥PB ①
同理有PD≥PC②
PA+PD≥PB+PC
∴①＋②得

Answer 2

证明：因为三角形的两边和大于第三边
所以pa+pd>ad，pb+pc>bc
因为ad>=bc
所以pa+pd>=pb+pc

追问

为什么a+b>c,d+e>f,且fd+e?那难道3+4>5,4+5>2所以3+4就大于4+5吗？能否请您证明一下？

Answer 3

证明：做PH⊥AH,垂足为H
由勾股定理得
PA²＝AH²＋PH²
PB²＝BH²＋PH²
∵AH≥BH
∴PA²≥PB²
∴PA≥PB ①
同理有PD≥PC②
PA+PD≥PB+PC
∴①＋②得

追问

不，（2）不能由（1）同理得出，因为若P在CD的垂直平分线右侧，则PD小于PC。应当证明PA-PB>=PC-PD。

追答

你画个图就看明白了，没错，D是端点，C在线段上的

追问

请你再读一遍题，“P为平面上任意一点”所以（1）的证明没错，但是（2）的同理就有错了，这步是不能这么推过去的。如果你不同意，就麻烦你把同理所省略的步骤写出来好吗？谢谢

追答

∵PD²＝PH²＋DH²
PC²＝PH²＋CH²
DH≥CH
PD²≥PC²
即PD≥PC

追问

DH不一定大于等于CH，如果（1）成立，则DH一定小于等于CH