Question

在△ABC中，AB=4,BC=3,AC=2,O为△ABC为的内心，G为△ABC的重心，设向量OG=X向量AB+y向量AC,则X+Y=

Answer 1

在△ABC中，AB=4,BC=3,AC=2,I为△ABC为的内心，G为△ABC的重心，设向量IG=X向量AB+y向量AC,则X+Y=?

【解】
你有没有学过这个定理：。。
点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：
向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．

只要把O选在A点。
得到向量AI=[2*AB+4*AC]/(3+2+4)= 2/9*AB+4/9*AC.

G为△ABC的重心，易知向量AG =1/3(AC+AB),
【证明：记AG延长线与BC交线为D,
则AG=2/3AD=2/3*1/2(AC+AB)=(AC+AB)/3】

向量IG=向量AG-向量AI
=1/3(AC+AB) –(2/9*AB+4/9*AC)
=1/9*AB-1/9*AC.
则x+y=0.

上面那个定理的证明如下：
设三角形ABC，AD为BC边上的角平分线，内心为I。
|BC|=a，|AC|=b，|AB|=c
aIA+bIB+cIC
=aIA+b(AB+IA)+c(AC+IA)
=(a+b+c)IA+b(DB-DA)+c(DC-DA)
设BC的方向向量e,则DB=e|DB|,DC=-e|DC|
又由角平分线定理，|DB|/|DC|=c/b，所以bDB+cDC=0
(a+b+c)IA+b(DB-DA)+c(DC-DA)= (a+b+c)IA- b DA- c DA =aIA+(b+c)ID
又因为IA、ID反向，用角平分线定理和合比定理：
b/CD=c/BD=(b+c)/(CD+BD)=(b+c)/a, b/CD=IA/ID,
所以IA/ID=(b+c)/a , 又因为IA、ID反向，
故aIA+bIB+cIC=aIA+(b+c)ID =0.
而aIA+bIB+cIC=a(OA-OI) +b(OB-OI)+c(OC-OI)
=-(a+b+c)OI+( aOA+bOB+cOC)
∴-(a+b+c)OI+( aOA+bOB+cOC)=0，
OI=(aOA+bOB+cOC)/(a+b+c)

追问

答案貌似不对

Answer 2

2/9
OG=1/3(OB+OC)
OB+OC=2/9AB+4/9AC
X+Y=1/3(2/9+4/9)=2/9