Question

已知三角形ABC中，角A，角B，角C的对边分别是a、b、c（a大于b），关于x的方程x*2—2（a+b）x+2ab+c*2=0

有两个相等的实数根。若角A，角B的余弦值是关于x的方程（m+6）x*2—（2m—3）x+m=7的两个根。且三角形ABC的周长为24.试求三角形ABC最大边的长度。

Answer 1

根据第一个方程有两相等实根可知
[2(a+b)]^2-4(2ab+c^2)=0
a^2+b^2=c^2
所以三角形ABC是以角C为直角的直角三角形
由以角A角B的余弦值为第二个方程两根的条件可得
cosA+cosB=（2m-3）/（m+6）
cosA*cosB=（m-7）/（m+6）
因为（cosA）*2+（cosB）*2+（cosC）*2=1-2cosAcosBcosC，cosC=cos90=0
所以（cosA）*2+（cosB）*2=1，即[（2m-3）/（m+6）]^2-2*（m-7）/（m+6）=1
解得m=3或m=19
因为角A角B为直角三角形两锐角，所以cosA与cosB均大于0
所以cosAcosB＞0，所以m=3不成立，故m=19
所以cosA+cosB=（2m-3）/（m+6）=7/5
因为三角形ABC周长为24，所以c+b+a=c+c*cosA+c*cosB=24
c(1+cosA+cosB)=24,c=10
由于角C为直角，所以c为三角形最大边，长度为10