Question

已知函数f(x)=1/3x^3+bx^2+cx+d设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f’(x)为f（x）的导函数

满足f'(2-x)=f'(x)
(1)求f（x）
（2）设g(x)=x根号下f‘（x），m＞0，求函数g(x)在[0，m]上的最大值

Answer 1

1)f'(x)=x^2+2bx+c
f'(2-x)=f'(x)， 即f'(x)关于x=1对称， 因此有:b=-1
与x轴交点处的切线为y=4x-12, 设交点为a, 则f(a)=0, f'(a）=4
过a的切线为：y=4(x-a)+0=4x-4a=4x-12, 所以4a=12, 得：a=3
由f'(3)=9-6+c=3+c=4, 得：c=1
由f(3)=1/3*27-3^2+3+d=0, 得：d=-3
所以有：f(x)=1/3x^3-x^2+x-3
2)g(x)=x√(x^2-2x+1)=x|x-1|
当x>=1时，g(x)=x(x-1)=x^2-x=(x-1/2)^2-1/4, 为增函数
x<1时，g(x)=-x^2+x=-(x-1/2)^2+1/4, 最大为g(1/2)=1/4
比较g(m)=m(m-1)与1/4得：m>= (1+√2)/2时 m(m-1)>=1/4
因此
若0<m<1/2时，gmax=m(1-m)
若1/2=<m<=(1+√2)/2时，gmax=1/4
若m>1+√2)/2时，gmax=m(m-1)