Question

已知函数F(x)=1/2x2+lnx

(1)求f(x)的单调区间；(2)求证:x>1时，1/2x2+lnx<2/3x3

Answer 1

1)定义域为x>0
f'(x)=x+1/x>0, 因此在定义域上f(x)单调增
2）令g(x)=1/2x^2+lnx-2/3x^3
g'(x)=x+1/x-2x^2=-1/x*(2x^3-x^2-1)=-1/x(2x^3-2x^2+x^2-1)=-1/x (x-1)(2x^2+x+1)
当x>1时，g'(x)<0, g(x)单调减
因此g(x)<g(1)=1/2-2/3<0
因此当x>1时有：1/2x^2+lnx<2/3x^3

Answer 2

1)定义域为x>0
f'(x)=x+1/x>0, 因此在定义域上f(x)单调增
2）令g(x)=1/2x^2+lnx-2/3x^3
g'(x)=x+1/x-2x^2=-1/x*(2x^3-x^2-1)=-1/x(2x^3-2x^2+x^2-1)=-1/x (x-1)(2x^2+x+1)