Question

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),过点A（-a，0），B（0，b）的直线倾斜角为π/6

原点到该直线的距离为√3/2。(1)斜线大于零的直线过D（-1，0）与椭圆交于E,F两点，若向量ED=2向量DF，求直线的方程；（2）是否存在实数K，直线y=kx+2交椭圆于P,Q两点，以PQ为直径的圆过点D（-1，0）？若存在求出K的值；若不存在，说明理由

Answer 1

解：由题意知：直线AB斜率为三分之根号三，进而求得a=根号三倍b。结合：原点到该直线的距离"√3/2，故椭圆方程为三分之X平方+Y平方=1.
(1)设此直线方程为y=k(x-1).E(x1,y1)F(x2,y2),
则联立椭圆和直线方程得（3k^2+1)x^2+6k^2x+3k^2-3=0
再利用韦达定理求出两根之和和两根之积。其中x1+x2=-6k^2除以(3K^2+1),x1.x2=3K^2-3除以(3K^2+1),
再由向量ED=2向量DF得x1=-2x2+3.则可联立求得k=正负一。
（2）联立椭圆和直线方程得（3k^2+1)x^2+12kx+9=0，则分别求得两根之和和两根之积。再求出y1,y2的和以及乘积。
若存在k，则PD向量与DQ向量垂直。则可将上式代入得k=7/6.
注：大体过程就是这样，如看不懂可以问我。