Question

已知数列an中,a1=1,对任意自然数n都有an=an-1+1/n(n+1),求an的通项

Answer 1

解：写出以下等式
an =a(n-1)+1/【n（n+1）】
a(n-1)=a(n-2)+1/【（n-1）n】
……
a2=a1+1/（2×3）
相加得，an=a1+1/（2×3） +1/（3×4）+……+1/【n（n+1）】
于是问题化归为对数列{1/n(n+1)}求和
由裂项法得
an=a1+（1/2－1/3）+（1/3－1/4）+……+（1/n－1/(n+1)）
=a1+1/2－1/(n+1)
=（3n+2）/（2n+2）

Answer 2

∵an＝an-1＋1/n(n＋1)
∴an－an-1＝1/n－1/(n＋1)
an-1－an-2＝1/(n－1)－1/n
… … …
a2 －a1 ＝1－1/2
上述各式相加得：an－a1＝1－1/(n＋1)＝n/(n＋1)
∴an＝1＋n/(n＋1)＝(2n＋1)/(n＋1)