Question

已知双曲线x^2/9-y^2/16=1上一点A到焦点F1的距离为10.

判断满足条件的A有多少个解，并给出一个点的坐标

Answer 1

由双曲线方程x²/9-y²/16=1，知左焦点F1(-5，0)，右焦点F2(5，0)
因为点A在双曲线上，所以||AF1|-|AF2||=6，
即|AF1|-|AF2|=6或|AF2|-|AF2|=6
因为|AF1|=10，所以|AF2|=4或16，
由双曲线的对称性，知满足条件的A有4个。
当|AF1|=10，|AF2|=4时，
设A(x，y)，则(x+5)²+y²=100 ①，(x-5)²+y²=16 ②，
①-②，得20x=84，x=21/5，所以y=±8√6/5，
即A1(21/5，8√6/5)或A2(21/5，-8√6/5)，
同理可求出当|AF2|=16时的点A的也有两个。