Question

已知函数f(x)=1/3x³-ex²+mx+1(m∈R），g(x）=lnx/x (1)求函数f(x）的单调区间

（2）对任意X1，X2∈R+幂，若g(x1)＜f倒数(x2)恒成立，求实数m 的取值范围。

Answer 1

（1）f(x)=1/3x³-ex²+mx+1(m∈R）
f'(x)=x^2-2ex+m,当判别式4e^2-4m<=0时f'(x)恒大于等于0，函数f(x)在R上为单调递增函数。 当判别式4e^2-4m>0时f'(x)的两个根为e+(e^2-m)^1/2、e-(e^2-m)^1/2，在两根之间f'(x)值小于零，局蚂其余处f'(x)值大于等于0，函数f(x)在e-(e^2-m)^1/2到e+(e^2-m)^1/2之间为减函数，在负无穷到e-(e^2-m)^1/2和e+(e^2-m)^1/2到正无穷上烂散为增函数。

（2）g(x）=lnx/x ，g'(x）=(1-lnx)/x^2,令 g'(x）=0，得到x=e，g（x）在0到e上为递增函饥腊氏数,在e到正无穷上为递减函数，在x=e处取得极大值且最大值为g（e）=1/e。
我想先问一下若g(x1)＜f倒数(x2)恒成立这句话没写错吧？f倒数(x2)是指f逆（x2）吗？

Answer 2

（1）f(x)=1/3x³-ex²+mx+1(m∈R）
f'(x)=x^2-2ex+m，当判别式4e^2-4m<=0，即e^2<=m时，f'(x)恒大于等于0，函数f(x)在R上为单调递增函数。 当判别式4e^2-4m>0，即e^2＞m时，f'(x)的两个根为e+(e^2-m)，e-(e^2-m)在两根之间f'(x)值小于零，其余处f'(x)值大于等于0，函数f(x)在e-(e^2-m)，e+(e^2-m)之间为减函数，在负无穷到e-(e^2-m)，饥旅困e+(e^2-m)到正无穷上为增函数。

（2）g(x）=lnx/x ，g'(x）=(1-lnx)/镇搭x^2,令 g'(x）=0，得到x=e，g（x）在0到e上为递增函数,在e到正无穷上为烂念递减函数，在x=e处取得极大值且最大值为g（e）=1/e
f'(x)=x^2-2ex+m,其对称轴x=e,f'(x)最小值=f'(e)=m-e^2,所以m-e^2＞1/e,m＞1/e+e^2