Question

为什么正交阵特征值模为1请证明

Answer 1

设任意向量c，有ac=ac,a为a的本征值，此式左乘b得到b*ac=b*ac（*），由于a*b=i，故b*a=i
所以得到c=ab*c，则b的特征值为a^(-1)，由于特征多项式解相同，所以a=a^(-1)，所以特征值模为1。

特征值是指设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值或本征值。

非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

设A是向量空间的一个线性变换，如果空间中某一非零向量通过A变换后所得到的向量和X仅差一个常数因子，即AX=kX ，则称k为A的特征值，X称为A的属于特征值k的特征向量或特征矢量(eigenvector)。

如在求解薛定谔波动方程时，在波函数满足单值、有限、连续性和归一化条件下，势场中运动粒子的总能量(正)所必须取的特定值，这些值就是正的本征值。

Answer 2

证明:设λ是正交矩阵A的特征值,α是A的属于特征值λ的特征向量
即有 (A共扼)'A =E,Aα=λα,α≠0.
在 Aα=λα 等式两边取共扼转置得 (α共扼)'(A共扼)' = (λ共扼)(α共扼)'.
等式两边左乘 Aα 得:
(α共扼)'(A共扼)'Aα = (λ共扼)(α共扼)'Aα
即有
(α共扼)'α =(α共扼)'[(A共扼)'A]α=(λ共扼)λ(α共扼)'α
所以 [(λ共扼)λ - 1 ] (α共扼)'α = 0.
因为 α≠0
所以 (λ共扼)λ = 1.
即 λ 的模为1.
复数域上的正交矩阵的定义忘了,想来应该是 (A共扼)'A = E.
若不是这样,上述证明仅供参考.