Question

0到+∞ e^-2x*sinx dx

Answer 1

分部积分法
=e^(-2x)sinxdx
=-0.5*sinx*d(e^-2x)
=-0.5*[sinx*e^-2x-e^-2x*cosxdx]
再次使用分部积分法
=-0.5*[sin*e^-2x+0.5*cosx*d(e^-2x)]
=-0.5*[sin*e^-2x+0.5*cosx*e^-2x+0.5*e^(-2x)sinxdx]
=-0.5*sin*e^-2x-0.25*cosx*e^-2x-0.25*e^(-2x)sinxdx]
然后与最初的积分进行合并
积分=-1/5*e^(-2*x)*cos(x)-2/5*e^(-2*x)*sin(x)

Answer 2

∫(0->+∞) e^(-2x).sinx dx
=(-1/2)∫(0->+∞) sinx de^(-2x)
=-(1/2) [sinx .e^(-2x)]|(0->+∞) + (1/2)∫(0->+∞) cosx .e^(-2x) dx
=-(1/4)∫(0->+∞) cosx .de^(-2x)
=-(1/4)[cosx .e^(-2x)]|(0->+∞) -(1/4)∫(0->+∞) sinx .e^(-2x) dx
= 1/4 - (1/4)∫(0->+∞) sinx .e^(-2x) dx
(5/4) ∫(0->+∞) e^(-2x).sinx dx = 1/4
∫(0->+∞) e^(-2x).sinx dx = 1/5

Answer 3