Question

如图，已知△ABC是正三角形，D、E分别为AC、BC上的点（不在顶点），∠BDE=60° 1.求证：△DEC=△BDA

2.若正三角形ABC的边长为6，并设DC=x，BE=y，试求出y与x的函数关系式，并求BE最短时，△BDE的面积

Answer 1

1)180-60=∠ABD+∠ADB=180-∠BDE=∠CED+∠ADB=180-∠C=∠DEC+∠CDE
所以：∠DEC=∠BDA
2）
∠BDE=∠BDE，∠BDE=∠C=60
所以：△BDE≌△BCD
所以：BE/BD=BD/BC
BD^2=BE*BC=6Y
余弦定理：BD^2=BC^2+DC^2-2BC*DC*cosC=36+x^2-6x
所以：6y=x^2-6x+36
即y=x^2/6-x+6
BE=y=1/6(x-3)^2+9/2,
X=3,BEmin=9/2
此时：EC=BC-BE=3/2=1/2CD
所以△CDE为RT△，
DE=1/2BE=9/4
S△BDE=1/2*BE*DE=81/16