Question

量子力学问题~

哈密顿量在某种变换下具有对称性，则哈密顿量与这一变换对应的算符对易，从而可能造成系统能级的简并。但我发现，哈密顿量具有某种对称性，并不一定会导致能级简并。
例如：一维无限深方势阱，适当选取坐标原点，可使哈密顿量H具有空间反演对称性，亦即H与宇称算符P对易。但它的能级仍是无简并的。
因此我想知道，给定哈密顿量，如何由对称性分析获得能级准确的简并信息？
不妨举个例子作为分析的对象：
U（x）= ∞，|x|>b;
U0(>0;常量),|x|>a;
0,其他地方.
其中a<b.

Answer 1

你说的没错，所以说可能。哈密顿量的对称性是针对空间平移变换，空间旋转变换和时间平移变换不变而言的，对于空间反演变换本身比较复杂，弱作用下宇称还不守恒。
其实能级的简并性并不是单纯的量子概念，而是对应于能级的分裂（解简并过程）。当我们采用了一系列好量子数来描述一个能级时，比方说氢原子轨道，通过1s，2s，2p等等来分别标定电子处的能量位置，这种标定叫做term，而具体到电子的自旋和轨道角动量耦合时，这种标定叫level，所以在一般情况下，能级的超精细结构是当做一种简并态来处理的。当原子比较大时，还要考虑原子核和电子的轨道耦合，这种情况就是能级的超精细结构。如果没有电效应或者磁效应，用诸如径向量子数和轨道角动量量子数不能完全区分能级的时候，引入的自旋量子数就是带来简并态的原因。
我这里只是用原子物理体系来举一个例子，向你说明简并度并不与哈密顿量有必然的逻辑联系，但是当一个物理体系有良好的对称性，那么它有可能存在很高的简并度。你可以参考自旋单态和自旋三重态的区别，自旋三重态由于粒子交换波函数不改变故而出现三重简并的状态。
我个人的看法是，与哈密顿量对易可以推出守恒（对应于一种对称，可以参考任何一本高量课本），但是这种对称并不一定导致简并态的出现，简并态对应于耦合或者是量子数的可交换。但是这中简并性与哈密顿量对应的微分方程形式有关，比方说涉及自旋等相对论效应要使用狄拉克方程一样，方程中的变量只有哈密顿量，所以简并一定与哈密顿量有关，但是更确切地说应该是与解有关。
所以你所想象的那种一眼看出简并性，我认为应该是困难的。
你的这个问题涉及了物理学的本质问题，从守恒性思考是物理中群论的基本观点，如果你有兴趣也可以参看一下

追问

你说的没错，外加电磁场微扰，或者考虑各种耦合效应，使得原子能级简并消除，这难道不就是因为哈密顿量的改变，使得原来哈密顿量的对称性被破坏了么？
举例来说，三维无限深球形势阱具有SO(3)转动不变性，而同样地，氢原子与三维各向同性谐振子也具有转动不变性，却比其具有更高的简并度——氢原子对称群扩大为SO(4)；三维谐振子则变成SU(3).因此，简并与对称性一定具有某种联系，而且是可以研究的吧。

追答

这个问题有没有人研究过我不确定，也没见过，但是我能确定的是有简并那么一定存在某种对称性，但是有对称性就不一定有简并，你所说的一维石井就是一个例子。
我觉得这里面有几个更基本的问题需要考虑：
1、哈密顿量是不是能全部反应体系的性质，我们在做物理问题的时候，一般会进行各种抽象和近似，是不是这种抽象带来的简并度，而非体系本身的简并度，所以研究抽象（或者说经过近似处理之后的哈密顿量）出来的哈密顿量形式是不是有意义？
2、简并度是不是直接关联于哈密顿量，或者说哈密顿量与其解是不是有一种对应关系。更直接一就是说，在一个微分方程中，特征值对应的特征函数和该微分方程本身是不是对应的。你看，一个解的几何重数（还是代数重数？）是不是就是它对应的简并度，那么这个能不能抽象到常系数微分方程的解上面来思考这个问题？
首先想到这两个问题，虽说不一定是最终解答，但是应该是有助于对这个问题的理解的。如果要仔细考虑这个问题可能要花不少时间，我只是大概提一下思路吧，这个问题还是很有趣的，值得研究。

Answer 2

只有特殊情况才能直接由对称性分析得到能级简并的信息吧。。。
通常都是要老老实实解方程的
写到这里我发现一楼已经说了。。。

此外，你解过你说的那种情况吗？我看它依然是无简并的

最后，解释一下我的观点，当我们说哈密顿量算符和某算符对易有可能导致简并时，通常指的那个算符是任意一个别的力学量对应的算符。所以，仅仅分析宇称算符应该没什么特殊的意思

Answer 3

哈密顿量具有某种对称性，还不能肯定就会造成系统能级的简并，但是系统的对称性与简并到是有很大的关系。这和微扰有些相似，加入微扰就破坏了系统的对称性，从而使得有些简并解除。